Vanliga statistiska test

Valet av statistiskt test avgörs av den kliniska frågeställningen, utfallsvariabelns skalnivå, antalet grupper, observationernas beroendestruktur och testets modellantaganden. t-test, χ²-test, variansanalys och rangbaserade test prövar olika nollhypoteser och kan därför inte ersätta varandra enbart utifrån om data förefaller normalfördelade. Ett korrekt testval börjar med att definiera vilken populationseffekt som ska skattas och hur studiedesignen genererade observationerna.

Utgångspunkt: frågeställning, utfall och studiedesign

Testvalet bör utgå från studiens estimand, det vill säga den exakt definierade populationseffekt som analysen ska skatta. Frågan kan exempelvis gälla skillnaden i genomsnittligt systoliskt blodtryck, riskdifferensen för stroke inom ett år, oddskvoten för behandlingssvar, förändringen inom individer eller skillnaden i överlevnadsfördelning. Samma datamaterial kan ge flera estimand, men varje estimand kräver ett passande estimat, standardfel och test.

Utfallsvariabelns skalnivå begränsar vilka sammanfattningsmått och modeller som är meningsfulla. Kontinuerliga variabler kan ofta analyseras med metoder för medelvärden, medan ordinala variabler primärt innehåller information om ordning. Binära utfall uttrycker två tillstånd, nominala utfall har flera kategorier utan inbördes ordning och räknedata består av icke-negativa heltal. Tid till händelse är en egen datatyp eftersom uppföljningen kan avslutas innan händelsen observerats.

Därefter måste antalet grupper och beroendestrukturen fastställas. Två mätningar från samma patient är parade; patienter i olika behandlingsarmar är normalt oberoende. Patienter inom samma vårdcentral, familj eller operationslag kan däremot vara korrelerade. Att analysera varje mätning som oberoende vid klustring eller upprepade mätningar underskattar vanligen standardfelet och ger för små p-värden, så kallad pseudoreplikation.

Randomisering bestämmer vilka permutationer och kausala jämförelser som är försvarbara. Klusterrandomisering kräver klusteranpassad analys, och stratifierad randomisering bör normalt avspeglas i modellen. Censurerade överlevnadstider kan inte ersättas med observerad uppföljningstid och analyseras med vanligt t-test. Testet måste således följa studiedesignen, inte bara variabelns utseende.

Hypotesprövningens principer

En hypotesprövning börjar med en nollhypotes, (H_0), och en alternativhypotes, (H_1). Vid jämförelse av två populationsmedelvärden kan dessa vara (H_0:\mu_1-\mu_2=0) och (H_1:\mu_1-\mu_2\neq0). Signifikansnivån (\alpha), ofta 0,05, ska bestämmas före analysen och anger den långsiktiga sannolikheten att förkasta en sann nollhypotes när testets antaganden är uppfyllda.

Från data beräknas en teststatistik som mäter avvikelsen från (H_0) i förhållande till dess förväntade slumpvariation. Under nollhypotesen har teststatistiken en känd eller approximativ nollfördelning, exempelvis t-, χ²- eller F-fördelning. Ett kritiskt område omfattar de utfall som är så extrema att (H_0) förkastas. Ekvivalent förkastas (H_0) om p-värdet är högst (\alpha).

P-värdet är sannolikheten, under antagandet att (H_0) är sann, att erhålla den observerade teststatistiken eller ett mer extremt värde. Det är inte sannolikheten att (H_0) är sann, sannolikheten att resultatet beror på slumpen eller storleken på behandlingseffekten. Ett p-värde på 0,03 innebär därför inte att nollhypotesen har 3 procents sannolikhet.

Ett typ I-fel är att förkasta en sann (H_0), med sannolikheten (\alpha). Ett typ II-fel är att inte förkasta (H_0) trots att den relevanta alternativhypotesen gäller, med sannolikheten (\beta). Testets styrka är (1-\beta). Styrkan gäller alltid en specificerad effektstorlek och påverkas bland annat av stickprovsstorlek, variabilitet och signifikansnivå.

Tvåsidiga test beaktar avvikelser i båda riktningarna. Ensidiga test kan ge högre styrka i en förhandsbestämd riktning, men är endast motiverade när effekter åt motsatt håll inte skulle leda till förkastande av samma nollhypotes. Riktningen får aldrig väljas efter att resultaten granskats. Utebliven signifikans visar endast otillräcklig evidens mot (H_0); den visar inte likvärdighet, frånvaro av effekt eller klinisk ekvivalens.

Antaganden, datakvalitet och diagnostik

Parametriska test bygger på en statistisk modell, inte på ett allmänt krav att varje observerad variabel ska vara perfekt normalfördelad. Centrala antaganden är korrekt urval eller randomisering, oberoende mellan analysenheterna, lämplig modell för väntevärdet och korrekt standardfelsberäkning. För klassiska t-test och ANOVA är normalfördelade residualer särskilt betydelsefulla vid små stickprov.

Varianshomogenitet innebär att residualvariansen är likartad mellan grupper. Antagandet krävs för Students tvåstickprovs-t-test med poolad varians och klassisk ANOVA, men inte på samma sätt för Welchs metoder. Extremvärden kan påverka medelvärde, standardavvikelse och teststatistik kraftigt. De ska kontrolleras mot källdata och mätprocess, men får inte tas bort enbart för att de försämrar signifikansen.

Histogram visar snedhet, multimodalitet och avgränsningar. Q–Q-diagram jämför observerade residualkvantiler med förväntade normalkvantiler; systematiskt böjda mönster talar för snedhet eller tunga svansar. Residualer bör också plottas mot skattade värden, grupp, tid och relevanta kovariater för att upptäcka heteroskedasticitet, olinjäritet och beroende.

Shapiro–Wilks test prövar exakt normalitet men är ett begränsat beslutsverktyg. Vid stort (n) kan triviala avvikelser bli signifikanta, medan små stickprov ger låg styrka att upptäcka kliniskt viktiga avvikelser. Grafisk diagnostik, studiedesign och testets kända robusthet är därför viktigare än att mekaniskt välja ett rangtest när Shapiro–Wilks p-värde understiger 0,05.

Centralgränssatsen innebär att medelvärdets stickprovsfördelning under breda villkor närmar sig normalfördelning när antalet oberoende observationer ökar. Den korrigerar däremot inte selektionsbias, felklassificering, informativt bortfall eller beroende observationer. Saknade data bör beskrivas per grupp och tidpunkt. Avrundning, topp- eller bottenkodning samt värden under mätgränsen kan skapa ties och snedhet och kräver ibland särskilda modeller eller sensitivitetsanalyser.

t-test för ett stickprov och parade observationer

Ett t-test för ett stickprov prövar om populationsmedelvärdet (\mu) är lika med ett referensvärde (\mu_0). Teststatistiken är

[ t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt n}, ]

där (\bar{x}) är stickprovsmedelvärdet, (s) stickprovets standardavvikelse och (n) antalet oberoende observationer. Nämnaren är medelvärdets skattade standardfel.

Eftersom populationsvariansen är okänd och ersätts med (s^2) följer teststatistiken under normalitetsantagandet Students t-fördelning med (n-1) frihetsgrader. t-fördelningen har tyngre svansar än normalfördelningen, särskilt vid få frihetsgrader. Den närmar sig standardnormalfördelningen när (n) ökar.

Ett tvåsidigt 95-procentigt konfidensintervall är

[ \bar{x}\pm t_{0,975;n-1}\frac{s}{\sqrt n}. ]

Om intervallet inte innehåller (\mu_0) motsvarar detta ett tvåsidigt förkastande vid (\alpha=0,05). En standardiserad effektstorlek kan uttryckas som ((\bar{x}-\mu_0)/s), men den kliniskt tolkbara skillnaden i originalenheter bör alltid redovisas.

Ett parat t-test är samma ett-stickprovs-test applicerat på differenserna (d_i=x_{i,\mathrm{efter}}-x_{i,\mathrm{före}}). Testet prövar (H_0:\mu_d=0), och standardfelet är (s_d/\sqrt n), där (n) är antalet kompletta par. Normalitetsantagandet gäller differensernas fördelning, inte de två mättidpunkterna var för sig.

Parning är effektiv när mätningarna inom en individ är positivt korrelerade, exempelvis blodtryck före och efter insatt behandling. Att i stället använda ett oberoende t-test förlorar information och ger fel standardfel. Om en observation i paret saknas kan det kompletta paret inte ingå i ett enkelt parat t-test; en longitudinell mixad modell kan då utnyttja tillgängliga mätningar under tydligare bortfallsantaganden.

t-test för två oberoende grupper

Students tvåstickprovs-t-test antar lika populationsvarianser. Den poolade variansen är

[ s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}, ]

och standardfelet för medelvärdesskillnaden är (s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}). Testet har (n_1+n_2-2) frihetsgrader.

Welchs t-test använder i stället

[ SE=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} ]

och approximativa frihetsgrader enligt Welch–Satterthwaite. Metoden behåller bättre kontroll över typ I-fel när variansen eller gruppstorleken skiljer sig och bör normalt vara standardvalet om lika varians inte är välmotiverad.

Ett 95-procentigt konfidensintervall beräknas som ((\bar{x}_1-\bar{x}2)\pm t{\mathrm{krit}}SE). Cohen's (d) standardiserar skillnaden med en standardavvikelse, vanligen den poolade. Hedges (g) korrigerar den småstickprovsbias som finns i (d). Standardiserade mått underlättar jämförelser mellan skalor men får inte ersätta skillnaden i exempelvis mmHg, dagar eller laboratorieenheter.

t-test är ofta robusta mot måttlig snedhet när grupperna är tillräckligt stora och inte starkt obalanserade. Vid små grupper kan enstaka extremvärden däremot ändra både medelvärdesskillnaden och standardfelet markant. Flera tekniska replikat från samma patient får inte räknas som oberoende patienter; de ska sammanfattas per biologisk enhet eller analyseras med en hierarkisk modell.

Test för proportioner och kategoriska data

Pearsons χ²-test för oberoende används i en (r\times c)-tabell för att pröva om rad- och kolumnvariabler är oberoende. Förväntat celltal är (E_{ij}=(\text{radtotalt}\times\text{kolumntotalt})/N), och teststatistiken är

[ \chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}. ]

Frihetsgraderna är ((r-1)(c-1)). Vid goodness-of-fit jämförs observerade frekvenser med en förutbestämd kategorifördelning; frihetsgraderna är (k-1), minus antalet parametrar som skattats från data.

χ²-approximationen förutsätter oberoende observationer och tillräckliga förväntade celltal. En ofta använd tumregel är att inga förväntade celltal bör vara under 1 och högst 20 procent under 5. Vid glesa 2×2-tabeller används ofta Fishers exakta test. Ett exakt binomialtest passar när en observerad andel jämförs med en specificerad sannolikhet.

McNemars test används för parade binära data, exempelvis samma patienter före och efter intervention eller matchade fall och kontroller. Det bygger på de discordanta paren. För ordnade exponeringsnivåer kan ett trendtest vara mer effektivt än ett allmänt χ²-test, förutsatt att den förhandsbestämda ordningen och trendformen är rimliga.

P-värdet från ett test av oberoende beskriver inte effektens storlek. Riskdifferens, relativ risk eller oddskvot ska därför rapporteras med konfidensintervall. I fall–kontrollstudier kan incidensrisk normalt inte skattas direkt, medan oddskvoten är naturligt skattningsbar.

Envägs variansanalys

Envägs-ANOVA jämför medelvärden i (k) oberoende grupper. Den totala kvadratsumman delas i variation mellan grupper och variation inom grupper. Medelkvadraten mellan grupper har (k-1) frihetsgrader, och medelkvadraten inom grupper har (N-k) frihetsgrader.

F-statistiken är kvoten mellan dessa medelkvadrater. Under (H_0:\mu_1=\cdots=\mu_k) är båda skattningar av samma residualvarians, och F-kvoten ligger typiskt nära 1. Ett stort värde talar för att mellan-gruppsvariationen är större än vad slumpvariation inom grupperna förklarar. Ett signifikant resultat visar endast att minst ett populationsmedelvärde avviker.

Klassisk ANOVA förutsätter oberoende observationer, normalfördelade residualer inom modellens grupper och homogen residualvarians. Balanserade designer är relativt robusta mot måttlig heteroskedasticitet. I obalanserade designer blir kombinationen av olika varians och olika gruppstorlek mer problematisk; Welch-ANOVA är då ofta lämpligare.

Att utföra alla parvisa t-test utan korrigering ökar familjevis typ I-fel. Den övergripande ANOVA-prövningen besvarar inte heller vilka grupper som skiljer sig. Dessa frågor kräver fördefinierade kontraster eller multiplicitetskorrigerade efteranalyser.

Faktoriell ANOVA, upprepade mätningar och efteranalyser

Faktoriell ANOVA omfattar två eller flera faktorer, exempelvis behandling och kön. Modellen skattar huvudeffekten av varje faktor och interaktioner mellan faktorerna. En interaktion innebär att behandlingseffekten varierar mellan nivåerna av en annan faktor; i en klinisk studie kan läkemedelseffekten exempelvis skilja sig mellan åldersgrupper.

Vid en tydlig interaktion är en ensam huvudeffekt ofta missvisande eftersom den är ett genomsnitt över olika villkor. Då bör enkla effekter eller fördefinierade kontraster rapporteras inom relevanta faktornivåer, helst med konfidensintervall. Ett icke-signifikant interaktionstest bevisar dock inte att effekten är identisk i undergrupper; sådana test har ofta begränsad styrka.

Repeated-measures-ANOVA modellerar upprepade kontinuerliga mätningar från samma individer. Sfäricitet innebär att varianserna för differenser mellan alla par av mättidpunkter är lika. Mauchlys test kan användas för att bedöma antagandet, men har låg styrka vid små material och kan bli överkänsligt vid stora.

Vid bruten sfäricitet justerar Greenhouse–Geisser-korrigering frihetsgraderna och ger ett mer konservativt F-test. Tukeys metod används ofta för alla parvisa jämförelser, medan Dunnetts metod jämför flera behandlingar med en gemensam kontroll. Valet ska styras av den kliniska frågan, inte av vilken metod som ger flest signifikanta resultat.

Linjära mixade modeller är ofta bättre vid ojämna mättidpunkter, varierande antal observationer, klustring eller delvis saknade uppföljningar. Slumpmässiga intercept och lutningar kan representera individvariation, medan korrelationsstrukturen beskriver beroendet över tid. Modellen kräver fortfarande granskning av residualer och rimliga antaganden om bortfall.

Icke-parametriska test för två grupper

Mann–Whitneys U-test jämför två oberoende grupper genom att rangordna samtliga observationer tillsammans. Rangsumman omvandlas till U-statistik, som motsvarar antalet par där en observation från den ena gruppen överstiger en från den andra, med justering för lika värden. Exakt nollfördelning kan användas vid små stickprov; vid större material används vanligen asymptotisk approximation med ties-korrektion.

Den generella nollhypotesen avser lika fördelningar eller frånvaro av systematisk rangdominans. Testet är inte automatiskt ett test av medianer. En mediantolkning kräver ytterligare antaganden, typiskt att gruppernas fördelningar har samma form och endast skiljer sig genom en lägesförskjutning.

Wilcoxons teckenrangtest används för parade data. Differensernas absoluta belopp rangordnas, varefter tecknen återförs och positiva respektive negativa rangsummor jämförs. Testet förutsätter, utöver oberoende par, en ungefär symmetrisk fördelning av differenserna kring den hypotetiska lägesparametern.

Om differensfördelningen är starkt asymmetrisk är teckentestet mer försvarbart. Det använder endast antalet positiva och negativa differenser och bortser från deras storlek, vilket ger lägre styrka men färre formantaganden. Nollskillnader, ties och valet mellan exakt och asymptotisk beräkning ska beskrivas, särskilt i små material.

Icke-parametriska test för tre eller flera grupper

Kruskal–Wallis test är en rangbaserad jämförelse av tre eller flera oberoende grupper. Alla observationer rangordnas gemensamt, och skillnader mellan gruppernas genomsnittliga rangtal sammanfattas i en teststatistik som asymptotiskt jämförs med en χ²-fördelning. Ties kräver korrektion.

Testet prövar om gruppernas fördelningar är lika. Tolkning som skillnad i median kräver jämförbar fördelningsform. Ett signifikant omnibusresultat identifierar inte vilka grupper som skiljer sig; Dunns test eller lämpligt korrigerade parvisa rangjämförelser kan användas efteråt. Epsilon-kvadrat kan rapporteras som effektmått.

Friedmans test används när samma enheter mäts under minst tre betingelser eller när data har en blockdesign. Observationerna rangordnas inom varje individ eller block, vilket tar hänsyn till beroendet. Efter ett signifikant test kan parvisa Wilcoxontest genomföras med exempelvis Holmjustering. Kendalls (W) kan beskriva graden av överensstämmelse eller effektstyrka i rangmönstret.

Rangtest löser inte problem med felaktig analysenhet, informativt bortfall eller komplicerad korrelation. Vid longitudinella data med kovariater, varierande uppföljning och ojämna tidpunkter är en regressions- eller mixad modell ofta mer informativ än Friedmananalys.

Permutationstest, exakta test och robusta alternativ

Ett permutationstest skapar nollfördelningen genom att omfördela gruppetiketter eller tecken enligt nollhypotesen. Metoden kräver utbytbarhet: under (H_0) ska de permutationer som används vara förenliga med studiedesignen. I en fullständigt randomiserad tvågruppsstudie kan behandlingsetiketter permuteras mellan individer; i ett parat försök permuteras i stället tecken eller behandling inom par.

Vid litet antal möjliga omfördelningar kan samtliga räknas upp, vilket ger ett exakt randomiseringstest. Annars dras ett stort antal slumpmässiga permutationer som Monte Carlo-approximation. Med (B) permutationer och (b) lika eller mer extrema utfall kan p-värdet beräknas som

[ p=\frac{b+1}{B+1}. ]

Bootstrap innebär vanligen resampling med återläggning och används främst för att skatta osäkerhet, bias och konfidensintervall. Ett bootstraptest kräver att resamplingen verkligen representerar nollhypotesen; vanlig resampling av de observerade grupperna skapar inte automatiskt en korrekt nollfördelning.

Robusta metoder baserade på trimmade medelvärden minskar inflytandet från extrema observationer och kan vara lämpliga vid kontaminerade, tungsvansade fördelningar. Inte heller resampling får bryta designen: hela kluster ska resamplas tillsammans, parningen bevaras och randomiseringsrestriktioner följas. Individvis resampling i klustrade data ger annars alltför snäva intervall.

Praktisk testvalsalgoritm

Följande tabell är en utgångspunkt, inte en ersättning för att definiera estimand och analysenhet.

Vid kontinuerliga data avgörs valet mellan parat och oberoende test av designen, inte av korrelationens observerade p-värde. Rangtest bör väljas därför att estimand, skalnivå eller robusthetsbehov motiverar dem, inte enbart på grund av ett signifikant normalitetstest.

Enkla grupptest räcker inte när flera prognostiska faktorer ska justeras, när effekten varierar med kovariater eller när utfallet följer en särskild fördelning. Linjär regression passar kontinuerliga utfall, generaliserade linjära modeller binära och räknade utfall, och mixade modeller korrelerade observationer. Vid censurerad tid till händelse krävs överlevnadsanalys, exempelvis log-rank-test eller Coxregression.

Multipla test, styrka och stickprovsstorlek

Om (m) oberoende sanna nollhypoteser testas vid nivån (\alpha) är sannolikheten för minst ett typ I-fel

[ 1-(1-\alpha)^m. ]

För fem oberoende test vid (\alpha=0,05) blir sannolikheten (1-0,95^5\approx0,226), alltså cirka 22,6 procent. Vid beroende test gäller inte exakt samma beräkning, men multipliciteten kvarstår.

Bonferronikorrektion använder nivån (\alpha/m) för varje test och kontrollerar familjevis felrisk men kan vara konservativ. Holms sekventiella metod kontrollerar också familjevis felrisk och är minst lika kraftfull. Metoder för falsk upptäcktsgrad är lämpliga när många hypoteser undersöks och målet är att begränsa den förväntade andelen falska fynd bland de förkastade hypoteserna.

Ett fördefinierat primärt utfall och en specificerad primär analystidpunkt begränsar multipliciteten. Planerade kontraster är vanligen mer effektiva och lättare att tolka än alla möjliga parvisa jämförelser. Explorativa analyser bör tydligt märkas som sådana och skiljas från konfirmatorisk prövning.

Styrkan ökar med större klinisk effekt, lägre variabilitet, större stickprov och effektiv allokering. Vid fast total stickprovsstorlek är lika stora grupper ofta effektivast för en enkel tvågruppsjämförelse, om kostnad och varians är likartade. En högre (\alpha) ökar styrkan men också typ I-felrisken.

Planerad styrka på 80 eller 90 procent är vanlig, men beräkningen måste utgå från minsta kliniskt relevanta effekt, realistisk standardavvikelse eller händelsefrekvens, bortfall och designfaktor vid klustring. En beräkning baserad på en överoptimistisk effekt ger ett underdimensionerat försök även om formeln är korrekt.

Tolkning, rapportering och vanliga fel

Resultat bör rapporteras med estimat i kliniskt begripliga enheter, 95-procentigt konfidensintervall och exakt p-värde. Därutöver anges testnamn, ensidig eller tvåsidig prövning, frihetsgrader, antal analysenheter och relevant effektmått. För exempelvis ett Welchtest kan rapporteringen innehålla medelvärdesskillnad, 95-procentigt konfidensintervall, (t), approximativa frihetsgrader, p-värde och Hedges (g).

Antagandekontroller och analysbeslut ska redovisas, inklusive hantering av saknade värden, extremvärden, ties, multipla jämförelser och avvikelser från analysplanen. För kategoriska utfall bör både absoluta risker och relativa effektmått anges. En oddskvot utan baslinjerisk är ofta svår att översätta till klinisk betydelse.

Statistisk signifikans innebär inte klinisk relevans. I ett mycket stort material kan en trivial skillnad ge ett lågt p-värde, medan ett litet material kan ge ett brett konfidensintervall som omfattar både viktig nytta och skada. Konfidensintervallets läge i förhållande till en kliniskt relevant gräns är därför ofta mer informativt än om p ligger strax över eller under 0,05.

Vanliga metodfel är:

• p-hacking genom upprepade analyser tills ett signifikant resultat uppstår
• selektiv rapportering av utfall, tidpunkter eller subgrupper
• post hoc-byte från tvåsidigt till ensidigt test
• dikotomisering av kontinuerliga variabler, med informations- och styrkeförlust
• analys av parade eller klustrade data som oberoende
• sammanblandning av tekniska replikat med biologiska analysenheter
• tolkning av icke-signifikans som bevis för ingen effekt
• rapportering av enbart p-värde utan estimat och konfidensintervall.

Ekvivalens och non-inferiority kräver marginalbaserade hypoteser. Vid ekvivalens används ofta två ensidiga test, TOST, för att visa att hela det relevanta konfidensintervallet ligger inom de förhandsbestämda ekvivalensmarginalerna. Vid non-inferiority prövas om behandlingen inte är sämre än kontrollen med mer än en kliniskt motiverad marginal. Ett vanligt superiority-test som inte blir signifikant kan aldrig i sig visa ekvivalens eller non-inferiority.

Källor

• Statistical hypothesis test
• Hypotesprövning
• Statistical hypothesis test
• Bild: File:Null hypothesis testing.png — MTSofonea, CC BY-SA 4.0
• Bild: File:T rejection region.svg — Pk0001, CC BY-SA 4.0